このページでは平均律で音階を設計した後に，この音律の特徴を確認します．
1半音上との周波数比率が 1:2^(1/12) になるように設計します．
セントの定義から明らかですが，半音間の幅は全ての鍵盤で100セントになります．
計算方法から明らかですが，これまで計算してきた古典音律と異なり，異名同音の周波数が完全に一致します．
異名同音のズレによるウルフなどは一切存在せず，純正比とのズレは最悪の場合でも短三度，長六度の15.64セントのに収まっています．
※ 表からわかるように長三度が若干広いので固定ピッチの楽器でなければ長三度を若干低めに取ることで純正に近づきます．
import math
from fractions import Fraction
# 平均律と純正律の周波数比を Fraction クラスで定義 (表示の都合)
just_intonation_ratios = {
"C4": Fraction(1, 1),
"C#4": Fraction(16, 15),
"D4": Fraction(9, 8),
"D#4": Fraction(6, 5),
"E4": Fraction(5, 4),
"F4": Fraction(4, 3),
"F#4": Fraction(45, 32),
"G4": Fraction(3, 2),
"G#4": Fraction(8, 5),
"A4": Fraction(5, 3),
"A#4": Fraction(16, 9),
"B4": Fraction(15, 8),
"C5": Fraction(2, 1)
}
ordered_keys = ["C4", "C#4", "D4", "D#4", "E4", "F4", "F#4", "G4", "G#4", "A4", "A#4", "B4", "C5"]
C4 = 440 * (2 ** (-9/12))
print(f" 音名 | 平均律(Hz) | セント | 純正比 | 差 (セント)")
print("-" * 65)
for i, key in enumerate(ordered_keys):
# 平均律 (Equal Temperament)
freq_et = C4 * (2**(i/12))
cents_et = 1200 * math.log2(freq_et / C4)
# 純正律 (Just Intonation)
ratio_ji = just_intonation_ratios[key]
# math.log2 に渡す際は float に変換
cents_ji = 1200 * math.log2(float(ratio_ji))
# 差分 (平均律 - 純正律)
diff = cents_et - cents_ji
# 純正比を表示
ratio_str = f"{ratio_ji.numerator}/{ratio_ji.denominator}"
print(f"{key:<4} | {freq_et:<10.2f} | {cents_et:>6.1f} | {ratio_str:<8} | {diff:>+10.2f}")
# 1オクターブ上とのズレが一切ない
print()
C5 = C4 * (2**(12/12))
print(f"C4*2: {C4:.3f}*2 == C5({C5:.3f}Hz)")
音名 | 平均律(Hz) | セント | 純正比 | 差 (セント)
-----------------------------------------------------------------
C4 | 261.63 | 0.0 | 1/1 | +0.00
C#4 | 277.18 | 100.0 | 16/15 | -11.73
D4 | 293.66 | 200.0 | 9/8 | -3.91
D#4 | 311.13 | 300.0 | 6/5 | -15.64
E4 | 329.63 | 400.0 | 5/4 | +13.69
F4 | 349.23 | 500.0 | 4/3 | +1.96
F#4 | 369.99 | 600.0 | 45/32 | +9.78
G4 | 392.00 | 700.0 | 3/2 | -1.96
G#4 | 415.30 | 800.0 | 8/5 | -13.69
A4 | 440.00 | 900.0 | 5/3 | +15.64
A#4 | 466.16 | 1000.0 | 16/9 | +3.91
B4 | 493.88 | 1100.0 | 15/8 | +11.73
C5 | 523.25 | 1200.0 | 2/1 | +0.00
C4*2: 261.626*2 == C5(523.251Hz)
半音間の幅がすべて100セントという均質さによって平均律では完全に自由な転調ができるようになりました．
どの調でも半音の幅が同じ，異名同音の周波数が完全に一致する = コンマが消滅した ことによってどの調でも自由に演奏することができます．
【 C Major のダイアトニックコード 】
和音 | 3度差(Cents) | 5度差(Cents)
-------------------------------------------------------
C | +13.686 | -1.955
Dm | -15.641 | -1.955
Em | -15.641 | -1.955
F | +13.686 | -1.955
G | +13.686 | -1.955
Am | -15.641 | -1.955
Bdim | -15.641 | N/A
【 G Major のダイアトニックコード 】
和音 | 3度差(Cents) | 5度差(Cents)
-------------------------------------------------------
G | +13.686 | -1.955
Am | -15.641 | -1.955
Bm | -15.641 | -1.955
C | +13.686 | -1.955
D | +13.686 | -1.955
Em | -15.641 | -1.955
F#dim | -15.641 | N/A
【 D Major のダイアトニックコード 】
和音 | 3度差(Cents) | 5度差(Cents)
-------------------------------------------------------
D | +13.686 | -1.955
Em | -15.641 | -1.955
F#m | -15.641 | -1.955
G | +13.686 | -1.955
A | +13.686 | -1.955
Bm | -15.641 | -1.955
Dbdim | -15.641 | N/A
純正比との差を確認すると分かりますが，どんな音律でも絶対に純正になる完全一度・完全八度を除いて，すべての和音が純正ではありません．
半音間隔で純正比との誤差に程度の差はありますが，すべての和音が微妙に濁ります．
ウェル・テンペラメントの記事で古典音律には和音の響き方の違いによる調性格があると述べました．
平均律では音の間隔が決まれば調に関係なく周波数比率が決まる = 和音の響き方が決まる ため調ごとの和音の響き方の差異がなくなります．
自由に転調できる，カラオケのような移調に違和感がない などのメリットもありますが，調性格を意識して作られた曲を平均律で弾いてしまうと作曲者の意図から外れてしまう可能性があるというデメリットもあります．
実際に演奏された曲を聞いてみたい場合はこちらのサイトがオススメです．
【関連(外部サイト)】聴き比べ：古典音律（ピタゴラス音律、純正律、中全音律、ウェル・テンペラメント）と平均律
【参考(外部サイト)】平均律 - Wikipedia